证设 X1 , X2 , …Xn 为来自β—分布的独立随机样本 ,故其联合分布密度为 :
n
n
n
∏ ∏ ∏ f ( xi , p , q)
i =1
=
[
B
(
1 p,
q)
]
n
(
i
=1
xi ) p- 1 [
i =1
(1 -
xi ) ] q- 1
n
n
n
n
∏ ∏ ∏ ∏ =
[
B
(
1 p,
q)
]
n
(
i
=1
xi ) p [
证因 X ～ β( p , q) ,有
0x0
F ( x) = Ix ( p , q)0 ≤ x ≤1
1x1
∫ 其中 Ix ( p , q) =
x 0
1 B ( p , q)
tp- 1 (1
-
t) q- 1 d t 称之为不完全β—函数.
当 p0 , q ≥1 时
事实上 ,定理 1 可推广为 :向线段[ 0 ,1 ] 上独立地连投 n 个随机点 ,假设每个点都服从 U[ 0 ,1 ] ,则左
起第 k ( k = 1 ,2 , …, n) 个落点的概率分布为β( k , n - k + 1) .
定理 2若 X ～β( p , q) ,且 p , q 皆为正整数 ,则 X ～ B ( p + q + 1 , x) ,且 x 取值于 p ～ p + q - 1.
贝塔分布的有关性质及应用探讨
徐传胜
(临沂师范学院 数学系 , 山东 临沂 )
摘要 :讨论了贝塔分布的部分性质 ,并对其应用进行了探讨. 关键词 :贝塔分布 ; 分布函数 ; 密度函数 中图分类号 :O221. 3文献标识码 :A文章编号 :1009 - 6051 (2001) 04 - 0006 - 03
第4期
徐传胜 :贝塔分布的有关性质及应用探讨
7
在上式中 ,当 p , q 皆为正整数时
Γ( p + q) Γ( i + 1) Γ( p + q -
i)
=
Ci p+ q- 1
p+ q- 1
∑ 则 Ix ( p , q) =
Ci p+ q- 1
xi
(1
-
x) p+ q- 1- i ,易知上式为 -
n=
定义 1设随机变量 X 的密度函数为
φ( x) =
B
(
1 p , q)
xp- 1
(1
-
x) q- 10 ≤ x
≤1
0其它
∫1
其中 B ( p , q) = xp- 1 (1 - x) q- 1 d x( p0 , q0) ,则称 X 服从 Beta 分布. 简记 X ～ β( p , q)
,
n 2
)
.
证
不妨设
F —分布的密度函数为
h ( x)
,在
T
=
(
m n
F)
Π(1
+
m n
F)
中求关于
F 的导数 ,
T′F =
(
m n
)
Π(1
+
m n
F)
2
0 ,因此
T
=
g ( F) 严格单调上升 ,其反变换为
F ( T)
=
n· T 且 m 1- T
F′( T)
=
n m
· (1
1 -
T) 2
tp-
1 (1 B(
p
,
t) q)
q-
1
d
t
+
1- x 0
tp-
1 (1 B(
p
,
t) q)
q-
1
d
t
∫ ∫ =
x 0
tp-
1 (1 B(
p
,
t) q)
q-
1
d
t
-
x 1
tp-
1 (1 B(
p
,
t) q)
q-
1
d
t
∫ ∫ ∫ =
1 0
tp-
1 (1 B(
p
,
t) q)
q-
1
d
t
+
x 0
tp-
1 (1 B(
xi ) ]- 1
n
n
n
n
∏ ∏ ∏ ∏ 故当 p , q 均未知时 ,其充分完备统计量为[ ln ( xi ) ,ln (1 - xi ) ] 也即[ xi ,ln (1 - xi ) ]
i =1
i =1
i =1
i =1
n
n
∏ ∏ 同理 ,当 p 已知 , q 未知时的充分完备统计量为 ln[ (1 - xi ) ] 即 (1 - xi ) ;
i =1
(1
-
xi ) ] q ( xi ) - 1 [ (1 -
i =1
i =1
xi ) ]- 1
n
∏ =
[
B
(
1 p,
q)
]
n
exp [
pln (
i
=1
xi )
故 β—分布为一指数族分布.
n
∏ + qln ( (1 i =1
n
n
∏ ∏ xi ) ] ( xi ) - 1 [ (1 -
i =1
i =1
例 2一条干净的河流中 ,在给定的地点 ,溶解在水中的氧气达到饱和的部分 ,服从 β(3 ,2) .
例 3一批商品在销售过程中 ,相对跌价也服从β—分布.
例 4试证β—分布为指数族分布 ,并求出在下列情况下的充分完备统计量.
(1) p , q 皆未知 ; (2) p 已知 , q 未知 ; (3) p 未知 , q 已知.
,
1 2
)
=
22 Γ(1)
= π,所以
φ( x) =
x-
1 2
(1
-
x)
-
1 2
B(
1 2
,
1 2
)
0
≤x
≤ຫໍສະໝຸດ =
0其它
π
1
0 ≤ x ≤1
x (1 - x)
0其它
定理 4设
F( m ,
0
β( p , q) 与一些常见的分布有着密切的联系.
定理 1设 X ～ U [ 0 ,1 ] ,抽取一容量为 2 n + 1 的样本 ,则其中位数 X ( n+1) ～ β( n + 1 , n + 1) .
证因 X ～ U[ 0 ,1 ] ,所以
F( x) =
0x0 x0 ≤ x1p ( x) = 1x ≥1
p
,
t) q)
q-
1
d
t
-
x 0
tp-
1 (1 B(
p
,
t) q)
q-
1
d
t
=
1.
所以 FX ( x) + FY ( y) = 1. β—分布是概率论与数理统计中最常见的分布之一. 现列举几个日常生活中β—分布的应用实例.
例 1心理学家认为 :一个正常人 ,在整个睡眠时间中 “, 异相”睡眠所占的比例服从β(12 ,48) .
0y0
1x0
又有 FY ( y) = IY ( q , p)0 ≤ y ≤1 = I1- X ( q , p)0 ≤1 - x ≤1
1y1
0x1
∫ ∫ 又 IY ( p , q) + I1- X ( q , p) =
x 0
10 ≤ x ≤1 0其它
而样本中位数的概率密度为
f ( x)
=
(2 n n
+ 1) !n !
![
F( x)
]n [1
-
F( x) ] np( x)
=
B
(
n
+
1 1,n
+
1)
xn
(1
-
x) n0
≤x
≤1
0
其它
因 B (1 ,1) = 1 ,故当 p = q = 1 时 ,β(1 ,1) 即为 U[ 0 ,1 ] .
∫ Ix ( p , q) =
x 0
tp-
1 (1 B(
p
,
t) q)
q-
1
d
t
=
Γ( p + q) Γ( p + 1) Γ( q)
·xp (1
-
x) q- 1 + Ix ( p + 1 , q - 1)
=
Γ( p + q) Γ( p + 1) Γ( q)
·xp (1
-
x)
q- 1
+
Γ(
Γ( p p + 2)
若 X ～ β( p , q) ,随机变量 1 - X 的分布与随机变量 X 的分布有着微妙的联系.
定理 6若 X ～ β( p , q) 分布 ,则 FX ( x) + FY ( y) = 1 ,且 Y ～ β( q , p) . 其中 Y = 1 - X.
证
因 fX ( x) =
B
(
1 p , q)
贝塔分布的有关性质及应用探讨贝塔分布贝塔分布函数三角分布贝塔分布舒克和贝塔贝塔男舒克和贝塔动画片全集舒克贝塔阿尔贝塔齐贝塔系数
第 23 卷第 4 期 Vol . 23 No. 4
临沂师范学院学报 of ’
2001 年 8 月 Aug. 2001
p + q - 1,p =
x 且取值于 p ～ p + q - 1
i= p
间的二项分布的分布函数.
类似地可以导出β( p , q) 与负二项分布间的关系.
定理 3若 X ～β( p , q) ,则 p =
q=
1 2
时为反正弦分布.
Γ( 1 ) Γ( 1 )
证令 p =
q=
1 2
,因
B
(
1 2
i =1
X2i
服从β(
m 2
,
n 2
)
.
m
n+ m
∑ ∑ 分析 :因 Xi ～ N (0 ,σ2 ) , i = 1 ,2 , …, n + m , Yi = XiΠσ～ N (0 ,1) ,而
Y2i ～ X2( m) ,
～ Y2i
X2 ( n+ m)
,
i =1
i =1
进而可推得结论. 限于篇幅 ,不再证明.
on the of Beta and
XU
(Dept. of Math. , ’ , ,)
: In this , the of Beta and are . Key : Beta ; ;
(
m
2
+ n2
2) !( n
2) !
2
2)
·Tm2 - 1 !
·(1
-
T)
n 2
-
1
0
T 1 =
B(
1
m 2
,
n 2
)
·Tm2 - 1
·(1
-
T)
n 2
-
1
0
T 1
0
其它
0
其它
m
n+ m
∑ ∑ 定理 5若
X1
, X2
, …, Xn+ m
独立同分布于 N (0 ,σ2 )
,则
i =1
X2i Π
(0
T1) ,由此得 T 的密度函数
f ( T)
=
h
[
m
nT (1 -
T)
]
·F′( T)
=
(m
+n 2
-
2)
!
(
m
2
2)
!(
n
2
2)
( !
m n
)
m 2
[
m
nT (1 -
T)
]m 2
-
1
(1 +
1 m ·n
T
m+ n
)2
·n
m
· (1
1 - T) 2
![儿童动画《花园宝宝》系列100全集高清合集[MP4]百度云网盘下载](/imgs/2025-bd-images/upload/default/3E3A36476.jpg)
